“aplicACIONES DE LA integral"
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Aplicaciones de la integral
Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular
integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la
integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes,
longitudes, etc. Lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los
griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el
trabajo, la electricidad.
Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene
el cálculo integral
·
. Cálculo de áreas planas
Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una
generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva,
mientras que la integral puede ser positiva, negativa anula. Por tanto, en la
aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo
de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto
de los mismos. Su suma es el área.
Ejemplo 1 :
a) Hallar el área de la región limitada por la curva y x = 2
, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 .
b) Hallar el área de la región limitada por la curva yx x x
= − −+ 3 2 3 3 y el eje OX en el intervalo
[ ] 1 3, .
c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y x = cos y
el eje OX , en el intervalo [ ] 0 2, π .
Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de
la integral definida para cubrir no sólo el Área de la región bajo una curva,
sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos
El siguiente resultado :
Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son
funciones continuas en [ ] a b, y se verifica que gx f x x ab () () , ≤ ∀∈[
], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f
y g , y las rectas
verticales x a = y x b = , es :
Observaciones:
a) Es importante darse cuenta de
que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g
sean continuas y de que gx f x () () ≤ .
b) Las gráficas de f y g pueden
estar situadas de cualquier manera respecto del ejeOX
c) Si, como suele ocurrir, unas
veces se cumple que gx f x () () ≤ y otras veces que f x gx () () ≤ ,entonces
el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [ ] a b, ,
viene dado por la
Fórmula:
En la práctica, no se suele
trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de f y
g ,
Calculando los puntos de
intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área
deseada.
Observación: Algunas veces es más
conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez de la
variable x .
Ejemplo 3: Hallar el área de la
región limitada por la gráfica de y x
2 = −3 e y x = −1.
·
. Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración,
vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida.
Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un
sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira
alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional
llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que
se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer
frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de
sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para
el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al
eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de
revolución.
·
Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano
alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos
es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor
de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco
de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = π ω R2
Para ver cómo usar el volumen del
disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos
una función continua f x( ) definida en el intervalo [ ] a b, , cuya gráfica
determina con las rectas x a = , x b = , y = 0, el recinto R. Si giramos este
recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de
este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado
en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de
[a b], :
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma
se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco
es π ω R2 , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen
aproximado del sólido es:
siendo:
la altura (anchura) de los cilindros parciales
,el radio de los cilindros parciales Si el número de
cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del
sólido; es decir
Por
tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además,
si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar :
COLEGIO DE
BACHILLERES COBAEM 19 TECAMAC
CALCULO
INTEGRAL
PROFESORA: GABRIELA
MENNESSES RODRIGUEZ
HECHO POR LOS ALUMNOS:
CAMARGO RAMON
JONATHAN KEVIN
LÓPEZ PÉREZ
ABRIL DANNIELA
RUBIO VEGA
IVAN
SANTOS
SANCHEZ GERARDO DANIEL
Revisado, bien
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